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逻辑基础问题(下)

归档日期:05-24       文本归类:二阶逻辑      文章编辑:爱尚语录

  第三部分首先回应那些对在第二部分中所阐述的形式性/逻辑性标准的批评,然后为逻辑与数学之间的关系提出一个新的解释,以替换传统的逻辑主义解释。逻辑主义企图把数学归约到逻辑,但是它的缺陷之一在于无法为逻辑提供一个基础。通过把逻辑与数学都建基于形式之中,以及对二者的劳动分工与合作的解释,新基础解决了这个问题。本文进一步证明,新基础保证了逻辑的必然性、普遍性、主题中立性、强大规范性以及其他种种特性,并在最后讨论了逻辑中的错误和修正。

  对逻辑性作为充分必要条件的批评集中于逻辑常项在自然语言中的使用上。这些批评的焦点是,自然语言中存在一些据说满足逻辑性的两个部分但直观上似乎仍是非逻辑常项的表达式。我们目前的基础性计划的中心是理论性的,它所关tl,的问题是认识上的,而其旨趣则在于构造一个逻辑系统以满足某些理论认知作用,根据这个观点,这些批评在很大程度上都是不相干的。①

  其他一些批评所关注的问题与目前的研究更为相关,对此我们必须在这里认真考虑。这些批评的丰富素材参见费弗曼的论文。(cf.Feferman,1999;2010)费弗曼为他命名的“塔尔斯基一谢尔论题”提出了三个异议:

  C.对于是什么构成了任意基本域上同样的逻辑运算,这个论题没有给出自然的解释。(Feferman,1999:37)②

  ①当然,从其他角度来看,它们可能也有点相关。对于语言学直观起重要作用的那些批评,可以参见如汉森的论文(Hanson,1997)和戈麦斯一杜兰特的论文(G6mez—Torrente,2002)。对此所作的回应可以参见谢尔的论文(Sher,2001;2003)。一些关于逻辑性的部分(ii)的问题在这些回应中起了重要作用,但正如上面提到的,它们无需用到目前的讨论当中。

  就这一[异议]是否合理这一点来说,这明显依赖于对逻辑本质的直觉。(Feferman,1999:37)

  他特别受到以下事实的干扰:我们可以用纯逻辑词汇表达实质性的数学命题,而这个论题的数学版本又为逻辑添加了实质性的本体论承诺:

  根据塔尔斯基一谢尔论题,我们可以把连续统假设以及其他许多实质性的数学命题表达为逻辑上确定的命题。③??这一论题的某个版本要求一种特殊的集合论实体的存在性、或者至少是它们确定的性质的存在性,就此范围而言,很明显的是,我们在这里已经超出了逻辑作为独立于“何物存在”的普遍概念的舞台。(Feferman,1999:38)

  (a)直觉。从目前把逻辑基础问题处理成一个理论问题的角度来看,直觉在接受或拒绝这一论题时都不能起主要作用。逻辑和数学之间的关系确实需要解释,但这在本质上不能是理论的。我将在随后的第(四)小节提供一个解释。

  (b)连续统假设和本体论承诺。首先,逻辑必须避免牵涉到世界的任何承诺这个观点,是一个与逻辑的基础主义方案携手并进的“纯粹论”观点,但在我的基础整体主义方案中却没有地位。其次,正如费弗曼似乎已经注意到的(上述最后一个引文),他的批评并不能应用到塔尔斯基一谢尔论题的一般形式,至少在我的说明——即前面的第一步、第二步——中是如此。论题的这一形式并没有躺在任何特殊的数学理论之中,所以也没有承诺连续统的可表达性或集合论实体的存在性。连续统的可表达性仅仅是选择一个特殊数学理论作为形式结构的背景理论的人工制品,因此是对集合存在性的承诺。④我们还不知道连续统假设究竟为真还是为假,有人也许会被这一事实所困扰,但在我们看来这并不是问题:知识的匮乏既是暂时的又是长久的,这是所有知识领域中都无法改变的事实,逻辑没有理由成为例外。

  就B而言,费弗曼承认,“集合论概念的‘鲁棒性’这个概念是模糊的”,但他的基本想法是,“如果逻辑概念需要从集合论上解释清楚,那么它们一定具有同样的、独立于集合论论域的精确范围的意义”(Feferman,1999:38)。可以用来刻画这一思想的一个数学条件是绝对性:给定(标准集合论语言中的)公理集合T,一个“公式??被定义为是关于T绝对的,仅当在T的模型的终端扩展(end—extension)下是不变的”(Feferman,2010:13)。费弗曼要求所有逻辑常项都是由“鲁棒的”概念可定义的,其动机在于处理以下思想:逻辑“不应该包含任何成问题的集合论内容”、逻辑常项的意义“不应该依赖于任何特殊的、超出最基本的集合构造而存在的集合论假设”(Feferman,2010:17)。在这一绝对性条件之下,诸如满足逻辑性的“量词‘存在不可数多个X”’这样的常项“不应该是逻辑常项”(Feferman,1999:38)。

  ②为了保持本文编号系统的一致性,我把费弗曼的“1”、“2”、“3”换成了“A”、“B”、“C”。

  ④实际上正如我们将在第(四)小节中所看到的那样,这是尚未解决的问题:作为一个关于形式的理论,集合论本身是否承诺了像集合这样的形式个体的存在性。

  这一批评同样至多只能应用到特殊版本的塔尔斯基一谢尔论题。就这一版本来讲,我的回应是,如果可以证明绝对性这样一类背景词汇的特征是与逻辑基础问题密切相关的,那么可以合理地要求在此基础上对逻辑性标准进行修正;但是就我所知,它们从未被证明直接与此问题相关。此外,费弗曼也承认,“绝对性概念本身是相对的、是对作为背景的集合论敏感的,因此仍然是对什么实体存在这一问题敏感的”(Feferman,1999:38)。这就引出了一个问题:如果在逻辑基础的某个地方必须回避非鲁棒的概念,那么为什么它们不应该在其他地方也被回避?为什么像绝对性这样的非鲁棒概念必须被允许在表述逻辑性标准甚或在其表述的限制中充当核心角色?

  更一般地谈论标准集合论本身那些“成问题的”特征及其许多概念的“非鲁棒性”的时候,我认为对两种类型的问题作出区分是很重要的:(i)涉及到集合论基本思想的问题;(ii)用于表述集合论的逻辑框架的具体特征中产生的问题。在很大程度上,许多集合论概念的非鲁棒性起因于标准一阶逻辑在表达能力上的局限,这些局限引起了楼文汉姆一司寇仑一塔尔斯基(LST)现象、非标准模型、集合论概念的不稳定性等后果。例如,“不可数多”在非标准模型中被可数集合所满足,这导致了它非常地不稳定。但是,通过引入新的逻辑常项而加强逻辑框架的表达能力,这个问题在原则上是可以解决的,因此,它们对于目前的研究来说意义不大。(“不可数多个”作为一个逻辑常项,其意义是跨模型固定的,与其非逻辑相关者相比,它更具鲁棒性,因为它并没有可数模型。)就像在纽拉特之船比喻中分两步修补一个漏洞那样(首先是临时地、然后是更为持久地使用这个临时的修补处创造新的工具,以生产更为持久的替代物),在原则上,为逻辑性构造标准这个过程也可以包含两个或多个阶段。从先于逻辑性标准的采用而被选出的、受LST等不稳定现象支配的逻辑框架中进行表述的集合论背景理论出发,我们在不太理想的条件下产生出逻辑性。然后,使用逻辑性为集合论构造一个更强的逻辑框架,我们就加强了这一理论,并且我们的逻辑性标准与它一起从更鲁棒的角度重新定义了它所许可的逻辑常项。

  在我看来,存在着这样一种意义,根据它,一阶谓词演算通常的运算独立于它们所应用于其上的个体域而具有相同的意义。这一特征并没有被双射不变性所涵盖。正如麦吉所说,“塔尔斯基一谢尔论题并不要求逻辑运算对不同大小的论域起作用的各种方式之间存在任何联系。所以,它会允许在论域大小为偶后继基数的时候像析取词那样起作用、在论域大小为奇后继基数的时候像合取词那样起作用、而在极限处却像双条件句那样起作用的逻辑联结词”。(McGee,1996:577)??我??相信,如果在语义上对一个逻辑运算的概念有一个说明,那么这个说明一定是这样的,它表明了一个运算在应用到一个论域M。时起作用的方式如何自然地与它在任何其他论域M。上起作用的方式联系起来。(Feferman,1999:38-39)

  我对这一批评的回应是,在对一个理论进行系统化的时候,我们常常被迫接受一些从该理论外部看来奇怪的、缺乏内在统一性、没有规则或理由的实体。但是,这样的实体在该理论内部意义很大,它们的自然性、内部统一性和存在的理由均依赖于该理论的原理。所有数学家都知道这一点,费弗曼自己也指出,许多正统的数学对象,用他的词来说,都是“怪异的”或“病态的”。(Feferman,2000)确实,即使对于逻辑来说,费弗曼也接受直观上缺乏意义统一性的算子。例如,考虑135元真值函项联结词,它刚好在2、101、103、104或120—13O个T(即2、101、??个句子变元指派为“真”)的那些行之中表现得像合取词,在3、4、5、6和7O一1o0个T的那些行之中表现得像析取词,而在所有其他行之中表现得像是某个极其不规则的联结词。这个联结词在其真值表(模型的相关物)的所有行之中具有“相同的意义”吗?对于有100个、101个和102个T的那些行,它在三者中各自的表现方式之间存在着自然的联系吗?但这个逻辑算子却是费弗曼支持的,而且具有很好的理由。使得它成为“在所有行之中是相同的算子”的,正是句子算子的逻辑性标准,即事实上它是真值函项型算子或称布尔型算子。

  还必须注意的是,上述费弗曼引文中的句子联结词在我的塔尔斯基一谢尔论题意义上并不是句子逻辑的逻辑联结词。这是因为我关于句子逻辑的逻辑性标准是通常的布尔型或真值函项型标准,而这个标准并不支持考虑到主目真值以外的东西的算子;特别是,它并不支持考虑到论域及其特征这类东西的算子。

  就谓词逻辑来说,这里的句子联结词有两种许可方式:句子算子的逻辑性标准和谓述算子的逻辑性标准。通过前者引入的时候,由于上述原因,它们不能表现得像费弗曼联结词那样。[根据谓词逻辑的真的塔尔斯基定义,用于开公式的时候,这个定义决定了它们只能与不考虑它们主目结构的论域的基数的谓述算子相一致。例如,在“Bx&cx”或“Bx&cy”等语境中,“&”分别与所有论域中的交(intersection.in—all—universes)或所有论域中的卡氏积(Cartesian.product—in—al1.universes)的客观算子相一致。]通过后一个标准引入的时候,它们被作为客观的逻辑算子引人而在闭句子语境中变成句子逻辑算子。这样的算子由其形式性而成为逻辑算子,它们从其只区分它们主目结构(包括它们的论域)的形式特征这一特性中获得内部统一性。并不是主目结构的论域的所有特征都是形式的,但是其基数是形式的,所以,逻辑算子原则上对这一特征是敏感的。费弗曼逻辑联结词的谓述相关物初看起来可能是“怪异的”,但实际上它在理论上是可靠的。

  虽然费弗曼的具体异议是没有根据的,但问题仍然会出现:假定逻辑性的部分(ii)被满足,那么形式性对逻辑常项来说究竟是充分必要条件或者仅仅是必要条件?经过深思熟虑之后,我的观点是,如果这个问题是这样问,“我们必须把哪些逻辑常项包括在我们所使用的逻辑系统之中?”那么这个问题有多重维度,而且在不同的时间我们需要作出不同的决定,这取决于哪些维度对我们来说最重要、我们在那个时候的目标是什么。逻辑性标准本身并不足以决定我们的选择,其他需要考虑的事项如实用考虑等也会起到重要作用,致使我们把逻辑性许可的逻辑常项限制到标准逻辑常项等等。但是,如果这个问题是这样问,“逻辑常项的哪个选择所产生的逻辑系统其后承将在所有知识领域中以一种特别强大的模态力量把真从前提转换到结论?”那么我相信答案是,满足逻辑性的逻辑常项的任何选择都将做到这一点。从这个角度来看,我们的标准在形式性这个统一的主题下区分出了一个极大论(maximalist)逻辑性观念,它是一族逻辑系统的观念,每一个系统都以部分方式满足为逻辑所指派的任务。就这一观念而言,我们的标准为逻辑性建立了一个充分必要条件。这个标准的一个重要凭据是,它在实质性的、统一的逻辑基础中充当了意义重大的角色(而不是作为特设标准,或者是整合在关于逻辑的零碎平庸说明中的标准)。

  必须注意的是,运用形式性标准来扩展逻辑、尤其是一阶逻辑所带来的优势不在本文的讨论范围之内。例如,ISOM[同构不变性标准或逻辑性的形式性标准,见第二(二)节]已经被证明在数学和语言学中得出了极其丰富和有趣的结果,包括“广义”量词。广义量词是与标准一阶量词很像的如“大多数”、“可数无穷多的”等这种量词,表示第二层次的形式算子,与一阶(个体)变元连起来使用。广义的逻辑框架中的工作在模型论和抽象逻辑中得到了重要的结果,包括林斯特龙(LindstrSm,1974)对标准一阶逻辑所作的影响深远的刻画、标准一阶逻辑并不是最强的完备逻辑的证明(Keisler,1970)、有穷模型和无穷模型中广义量词的研究(cf.BarwiseandFeferman,1985;V萏苴nanen,1997;2004)。它在语言学和语义学中也有重要的结果(cf.PetersandWesterstgthl,2006)。

  我们制订逻辑基础的下一步将要考虑的是形式的实在性、用来研究它的那个学科以及逻辑和数学在它之中的共同基础。

  如果我们的理论是对的,那么逻辑就建基在那些支配对象(性质、关系、函数、事件或情境状态)行为的形式法则之中,不管这些对象是实际的还是形式上可能的。基于这些原则之上的恰当的逻辑理论需要形式结构的背景理论的资源。这个理论将确定对象的全体形式上可能的结构(结构/模型的基础)、对象的全体形式特征(逻辑常项的基础)以及支配对象的形式特征和形式上可能的结构的普遍法则(逻辑法则的基础和逻辑后承的基础)。具有基础主义倾向从而禁止任何循环的传统哲学并不允许逻辑以这种方式和其他理论联系起来,基础整体主义则不然。问题出来了:我们知识系统中的哪个理论充任了或至少可以充任逻辑的形式结构的背景理论这个角色?

  不过,在回答这个问题之前,我们需要考虑一个更为基本的问题。对于任何一个理论来说,为了研究支配(实际的和潜在的)对象的形式特征的法则,对象(包括实际对象)必须具有形式特征。所以,我们的第一个问题关系到形式的实在性。有的哲学家、尤其是极端唯名论者,质疑形式的实在性,而且这个问题在数学哲学文献中也被广泛争议。我在这里无法对这个问题的各种观点进行研究,而是为形式的实在性提供一个基本的、相当常识性的论证。我的工作比其他哲学家(在客观意义上)对形式的实在性所作的辩护更为简单,其中一个方面是我不必对形式个体的存在性进行辩护。它可以从我们对形式性所作的刻画(的一般性表述以及数学表述)中作为推论得到:

  为了明白其原因,我们尝试把形式性应用到个体。首先,我们知道形式性并不能直接应用到个体。因为个体没有主目,它们不能根据它们考虑(和不考虑)的主目的什么特征而被区分开来。所以,形式性标准并不支持任何个体的形式性。其次,我们通过验证个体的相等是否是同构不变的⑤、从而间接地使用这一标准来验证个体的形式性的时候,这个标准给出了一个否定性结果:给定任意的个体c和结构,存在一个结构使得但C’≠c。⑥

  ⑤根据如下意义:如果带有某个个体的结构同构于另外一个结构,那么这个相同的个体出现在二者之中。

  ⑥(i)看待这个间接验证的另外一个方式是当作验证一元的第一层次性质“等于C”是否是形式的,其中c是固定的个体。很明显,它不是。(ii)注意,(FI)也可以从我们对形式性的非技术性刻画中得出。(iii)就形式性的数学标准而言,这个结果并不依赖于它在本文中的特殊表述。(c£Lindstrtim,1966;Tarski,1986)

  所以,为了把逻辑建基于(我们意义上的)形式之中,需要确立的是形式特征的实在性而不是形式个体的存在性。下面我们会看到,这把我们推到了一个有趣的、与唯名论者面对面的位置:关于个体的唯名论者可以接受我们把逻辑基础解释成是建基于实在的形式特征或支配这些特征的法则之中。

  至此为止,我们只是假设了实在具有形式特征。但是,它真的具有这些特征吗?为了对形式特征的实在性进行辩护,假设它们不是实在的。那么这个假设是什么意思呢?考虑到我们对形式性的理解[第二(二)节],它意味着世界中的对象既不与它们自身相等也不与任何其他对象有所不同、对象的聚合没有大小、对象的性质并不构成并和交、对象的关系并不显示出形式模式(如没有关系是自反的、对称的或传递的),如此等等。但是这些断言非常不合理。以我最近组织的研究生讨论班中的学生为例。很难否认:学生和我都是实在的,每个学生都相等于他/她自身并且不等于我,学生和我构成了一个具有确定基数的个体聚合,作为学生和作为教授的这些性质具有一个并和一个交,学生都处于“x与y参加同一个讨论班”这一自反、对称和非传递的关系之中,如此等等。⑦所以,如果我的学生和我都是实在的,并且如果我们具有上面提到的第一层次的性质和关系,而这些性质和关系又都具有上面提到的第二层次的性质,那么世界中的对象确实具有形式特征并且这些性质都是实在的。

  但是,如果形式特征都是实在的,那么它们和对象的其他性质一样都潜在地显示了规律性且由法则所支配。人们有充分的理由相信,相等、基数、交、并、自反性、传递性、对称性等等并不是不规则的或无规律的。所以,对于个体,即使你一开始是一个唯名论者,你也很难否定说:你所支持的个体具有形式特征(自我相等),它们的性质和关系具有形式品质(基数性)且处于形式布局(并)之中,这些形式品质和布局显示了某些规律性且被某些法则(同一律、基数法则、并的法则)所支配,如此等等。形式(theforma1)的理论研究的正是这些形式法则。

  那么,哪个理论研究形式?最自然的回答是:数学。当然,有人可能会拒绝这一回答。他们可能会说,数学纯粹是规约的,或者说,它太普遍太抽象从而无法与世界衔接,或者说,只有应用数学才和世界(或其他类似的东西)有关。

  首先我要说的是,问题并不在于是否所有的数学都从事于形式研究,甚或是否有的数学理论专门地从事于这一研究。数学是一个范围宽广的、多样化的学科,具有多种多样的目标和兴趣。问题在于,数学所做的重要事情之一是否是(在我们的意义上)为形式提供一个理论。对这个问题所作的否定性回答毫无意义。如果世界中的事物及其性质都具有形式特征,比如说如果对象的性质具有基数性特征并且这些特征由某些法则所支配,而数学家却依然专门研究其他那些由完全不同于支配实在的基数的法则所支配的“不实在的”基数,这将是非常奇怪的事情。

  接下来,我们来看前面提到的异议中的最后两个。(由于普遍认为数学规约主义与逻辑规约主义一样都是不恰当的,这里不再对其进行讨论。)一旦认可了实在的形式层面的存在性并且意识到它的法则的强大模态力量和极大普遍性,我们就会明白,数学并不是太普遍或太抽象从而无法与这些法则衔接,另外,“纯”数学也一定关注它们,而不仅仅是应用数学才一定如此。这是因为,以精确的方式、完全普遍性地对具有高度必然性的普遍法则作出解释,需要一个高度抽象的普遍理论——针对形式法则的、近似于“纯”数学的东西。例如,为了完全普遍性地陈述有穷基数的法则,我们需要与无穷集合类似的东西。而一旦无穷集合被引入,为了完全普遍性地陈述支配集合和幂集之间的基数关系(或它表示的性质和幂性质之间的关系)的法则,我们需要像完整的康托尔定理那样普遍、抽象的东西。

  现在,给定研究这些法则的数学理论的存在性,可以合理地认为,不管是原来就为这一目的而建造好的还是刻意追求的,它们都能够充当逻辑的形式结构的背景理论。

  确定了逻辑与数学之间的基本关系——逻辑建基于形式之中而形式由数学研究,随后我们便可以考虑费弗曼的断言:我们关于逻辑性的标准等于“把逻辑吸收到了数学中”。细查我们关于逻辑性的一般描述及其精确表述就可以证明,如果费弗曼说的“吸收”指的是“等同”,那么这个断言是错误的:根据我们的解释,逻辑和数学处于一种系统的和富有成效的相互关系之中,而不是相互等同于对方。它们至少在两个重要事情上是不同的:(i)主题;(ii)它们对象的形式性。第一个区别是直截了当的:虽然逻辑也涉及到世界,但是它通过语言来处理它。它的直接主题是语言学上的(句子、推演、理论),而数学的直接主题是客观的(对象和对象结构)。第二个区别更为微妙:逻辑性的不变性标准的一个重要结果是[如塔尔斯基(Tarski,1986)提到的],经典数学概念解释为较高层次概念的时候都是逻辑概念,解释为较低层次概念的时候都是非逻辑概念。尤其是,数学个体及其许多第一层次的数学性质并不满足这个标准的形式性部分,但是它们的较高层次的相关者却满足。所以,作为个体基数,2和N都不是形式的(逻辑的),但作为量词基数(第二层次实体)它们又都是形式的;作为个体之间的关系,属于关系(∈)不是形式的,但作为较低层次实体和较高层次实体之间的关系(例如在“a属于B”中,其中a是第0层次对象、B是第一层次对象),它又是形式的。塔尔斯基断定说,我们是否把数学当做逻辑,这是一件随意的事情,但是我认为他错了。逻辑和数学之间存在一个系统的工作分工,数学个体及其较高层次相关者之间在形式性方面的不同是这一分工的一部分:数学(很大程度上)通过数学个体及其性质(严格地说它们不是形式的)来研究形式,而逻辑使用形式算子(很大程度上它们都是较低层次数学对象的较高层次相关者)来为有效的推理和推演开发方法。

  现在,有人或许会问,在研究形式的时候,为什么数学通常使用较低层级的(或一阶)理论。如果形式(主要地)驻留在性质的性质这个层次,那么为什么数学却在个体及其性质这个层次上研究它?例如,基数作为第二层次的性质,为什么数学却是通过皮亚诺算术、ZFC等一阶理论(这些理论把基数解释为个体)来研究它们?这样的理论可以为形式提供精确的知识吗?

  最后一个问题的回答是肯定的:虽然一阶数学理论不能直接为形式提供精确知识,它们却可以间接地做到这一点。至于那个“为什么”的问题,回答它的关键之处在于以下观察:理论之为理论乃是心灵的创造物,心灵越是复杂精细,它就越适合于(也能够)对实在提出间接但富有成效的正确解释。就功能方面来说,也很容易看到这种间接研究可能具有什么样的优势。假设我们人类对个体系统比对较高层次对象的系统能更好地操控,也就是说,出于各种原因,与较低层次概念打交道的时候,我们更能胜任于规律的发现并把它们系统化。那么,在那一层次研究形式对我们是有利的。通过为实在或者我们希望研究的部5Y/方面(在“模型”通常的意义下)构造一个第一层次的模型,我们就可以做到这一点。例如,我们可以创建一个一阶算术理论,它将通过(较高层次的)基数法则的第一层次相关者来研究这些法则,从而为这些法则提供一个间接的说明。一阶算术(如果正确的话)由此就以一种系统的方式与实在联系起来,但是它与实在的联系是间接的。在适用于实在方面,与第一层次现象的准确的一阶理论相比,较高层次现象的准确的一阶数学理论反而没有那么直接,但是它们对实在的适用却是一样的。

  我们可以通过直接和间接(或简单和复合)指称来形象地表示出与实在的直接联系和间接联系之间的区别(使用数字上标是为了区分语言学的/本体论的元素类型,不同种类的箭头是为了区分不同的指称关系和这些关系的组成成分):⑧

  在我们的数学真理观和有些虚构主义者(of.Field,1989)的数学真理观之间,可以辨识出一些相似之处,尤其是二者都把数学个体看成是(某种)虚构物。当然也存在着非常显著的区别:根据虚构主义者的解释,实在没有真正形式的特征,而根据我们现在的解释则不然;对虚构主义者来说,一阶算术定理都是假的,而对我们来说则为真;在虚构主义者看来,应用算术的定理都是物理真理的保守扩张,而我们则认为它们是形式真理的应用。我们可以说,如果你知道如何把它们与实在联系起来,一阶数学的法则都没有说谎......

  但是,如果数学是通过一阶理论间接地研究形式,那么问题就出来了:精确地说,形式在哪里进入到了(一阶)数学理论?我的回答是:凭借结构。一阶数学理论通过研究数学结构来研究形式。数字个体不是形式的,但数字结构即数字个体的结构是形式的。这对集合论结构同样成立:集合作为个体不是形式的,但集合论结构是形式的。数学结构的形式性的标志与逻辑算子的形式性的标志是一样的:同构不变性。数学结构在同构下保持其数学上的相等。在数学结构和形式算子这两种情形之中,我们都可以说,相等是不计同构的相等。不管它们的论域是否由同样一些个体组成,自然数的两个同构系统(作为自然数系统)是相等的。在这种意义上,数学系统和逻辑算子一样都不能辨别个体的相等。数学通过结构的一个本体来研究形式,其中,结构中的个体通过它们在结构中的作用来表征对象的形式特征,支配这些结构的法则是支配对象的形式特征的法则的数学表征。

  很容易看到,根据我们的解释,数学的形式性与其结构主义数学哲学意义上的结构性具有某些明显的相似性。这一相似性反映在诸如同构对于二者的核心性。它在数学结构主义中的核心性可以在以下引自夏皮罗的论述中清楚地看到:

  不管如何表述,结构主义都依赖于两个系统例示了“相同”结构这个概念。这就是关键所在。......我们需要明确地表述出系统之间相当于“具有相同结构”这样一个关系。

  有几个关系可以做到这一点。......第一个是同构,一个普通的(和值得尊敬的)数学概念。两个系统是同构的,仅当存在一个一一对应把一个系统的对象和关系对应到另外一个系统的对象和关系并且保持这些关系。??直观地说,这就是有时候会说的同构“保持结构”。(Shapiro,1997:9O__91)

  甚至那些并不认为同构等同于结构相等的人也认为它对结构主义来说是非常核心的。例如,雷斯尼克(Resnik,1997)认为,数学结构表征了具有各种性质且处于各种关系之中的事物的模式,同构则表征了结构的全等,而在所有“出现于模式之间的等价关系”中“全等是最强的”(Resnik,209)。根据我们的解释,形式和结构之间的密切联系还是逻辑和数学之间联系的另外一个方面。数学个体通过它们在结构中的作用而表征了(第二层次的)形式性质,在这些结构中支配它们的法则表征了构成逻辑基础的形式法则。

  19世纪末2O世纪初那些伟大的基础性系统描绘出了逻辑和数学之间紧密的联系。为了给数学寻找一个(坚实的)基础,逻辑主义把数学建基于逻辑之中,直觉主义把数学和逻辑都建基于心智构造之中,(证明论的)形式主义则旨在把二者建基于句法之中。当前的方案在两个方面有别于这些传统进路:(i)把焦点转移到了逻辑的基础;(ii)把传统的基础主义方法论换成了新的、整体主义(但仍是基础性的)方法论。但是,我们并没有放弃旧有的逻辑一数学联系,而是把我们拉回到了这一联系,只不过现在有了新的理解。

  在方法论上,逻辑和数学的共同解释比各自独立的解释具有明显的优势:它把两个哲学谜团——逻辑的本质和数学的本质归约为一个,我们需要负担的只有一个基础任务而不是两个。共同解释可以有几种形式,其中的三种为:(i)逻辑主义:把数学归约为逻辑;(ii)数学主义:把逻辑归约为数学;(iii)第三种成分:把逻辑和数学都建基于一个第三种成分——在我们的情况中称为结构或形式——之中(我们可以称此为“逻辑一数学结构主义”)。我们可以扼要地比较这三种选项:

  逻辑主义:逻辑主义家世显赫、家喻户晓、文献众多、革新不断,但是,即使具有这些优势,从适合作为逻辑的基础这个观点来看,它还是非常成问题的。逻辑主义用逻辑来解释数学并以之为数学的基础,但是它却未对逻辑本身进行解释和提供基础。有的哲学家试图把数学的逻辑主义基础与逻辑的规约主义基础配成一对,但我们在前面已经看到,逻辑规约主义也是非常成问题的。就我所知,到目前为止,逻辑在逻辑主义内部还没有恰当的基础。

  数学主义:数学主义具有逻辑主义同样的方法论优势(虽然没有显赫的家世和众多的文献),而且因为对数学所作的几种实质性说明(如数学柏拉图主义、数学自然主义和数学结构主义)都没有把主要解释担子压在逻辑肩上,对于共同基础可能具有更好的前景。但是我也不知道对共同的数学主义基础有任何成熟的(更不必说成功的)尝试。在对数学的非逻辑主义解释中,我认为结构主义最有希望,但是我更愿意把它归人到“第三种成分”这个范畴之中。

  逻辑一数学结构主义:第三种方案为了给逻辑和数学塑造一个共同的基础而立足于第三种事物,它以相互联系但又与众不同的多种方式为二者提供基础。我们的方案就属于这一范畴,把数学和逻辑都建基于同样的事物之中:(客观意义上的)形式或结构。根据这个说明,逻辑和数学的结构性在于它们只辨别形式模式:数学中对象的形式模式和逻辑中语言表达式的形式模式。后者构成逻辑真理和逻辑推演的基础,其本身又(以一种复合方式)建基于支配前者的法则之中。

  除了形式性和结构性之间的联系之外,我们对逻辑所作的“形式主义”解释和数学的结构主义解释之间还有其他一些相似点,其中三个如下:(i)实在论倾向[如雷斯尼克(Resnik,1997)和夏皮罗(Shapiro,1997)];(ii)拒绝基础主义、认可整体主义(如雷斯尼克和夏皮罗);(iii)把强大的模态力量归因于数学/逻辑法则[如赫尔曼(Hellman,1989)]。然而,把数学结构主义扩展到逻辑、或者说逻辑和数学拥有共同的结构主义基础,这个想法并没有得到数学结构主义者的彻底审视。出于这个原因,也出于数学结构主义者之间的观点存在相当大的变化的原因,⑩我们此时此刻暂不考虑(我们的)“逻辑形式主义”和数学结构主义之间的联系,而是继续讨论逻辑与数学之间与这一联系无关的相互关系。

  根据我们的解释,逻辑和数学之间的相互作用是一个连续的过程,对两个学科都是不可或缺的:数学为逻辑提供关于形式结构的背景理论,逻辑为数学提供(形式结构以及其他可能事物的)理论发展的推演框架。功能上,我们可以把这个过程描述为分阶段进行:从研究补、并、交、包含等非常基本的形式运算的基本逻辑一数学开始,我们为发展一个简单的(类似于句子逻辑或三段论的)逻辑系统创建资源。这个逻辑帮助我们建立起一个更为成熟的数学。然后,受这个数学中出现的方法论问题(如公理化问题)的促进以及对其资源(如集合论资源)的某些运用,我们发展出一个更为强大而系统的(类似于带标准逻辑常项的公理化的一阶逻辑的)逻辑系统。接着,把这个系统用作数学的框架,我们为数学理论建立起严密的公理系统(如算术和欧氏几何)、为形式结构建立起严密的普遍理论(如公理集合论)。运用这个成熟的理论,我们可以进一步建立起一个系统的逻辑后承定义(如塔尔斯基定义或模型论定义)和系统的逻辑性标准(如同构不变性标准),以此为基础,我们建立一个扩展的一阶逻辑框架,如“广义”一阶逻辑(Mostowski,1957;Lindstrtim,1966;Keisler,1970)那样的东西。这个扩展的逻辑可以使我们在将来发展出更为成熟的数学,如此等等。

  我们即将完成我们的基础大纲。我们已经详细解释了逻辑建基于实在这个论题,解释了逻辑和数学之间与之一致的关系。最后我们简单地讨论三个相关的问题:逻辑的规范性、逻辑的特质以及逻辑中的错误和修正。

  规范性。按照我们的解释,逻辑的规范性源自于逻辑的真。有一种解释认为,真不仅仅是一种陈述/理论的性质,还是一种认知价值,相当于实践领域中的道义价值。按照威廉姆斯(Williams,2002)的说法,我们称这种价值为“真实性(truthfulness)”;这里,我们主要感兴趣于认知真实性。认知真实性是伦理学和认识论交叉处的核心价值,每门维护这一价值的学科都是规范学科。由于与其他大多数学科一样,逻辑的目的也在于真(反映在我们基础研究中强调其正确性的东西),所以它是一门规范学科。

  真是认知规范性的核心来源、并且所有正确性学科因此在认知上都是规范的,这一观点可以追溯到弗雷格:

  任何断定何物存在的法则都可以视为规定着人们的思考应该与之一致,因此,它在这一意义上是思维的法则。这对几何学法则和物理学法则也同样成立,正如对逻辑法则那样。(Frege,1893:12)

  在弗雷格看来,......它是所有[作为规范法则的]描述性法则的特征。??考虑关于物理世界的“游戏”(不仅仅是理解思想,还要对它们进行评价并决定支持哪一个)。??这个游戏中的“运动”——判断——可以评价为正确的还是不正确的。关于物理世界的判断,如果它们与物理事实匹配,那么,在此意义上它们就是正确的。所以,虽然物理定律是描述性定律——它们告诉我们的是这些物理事实(中的一些)——它们对从事于思考物理世界的“游戏”的任何人都具有规范性后果:这样的思考者不应该作出与它们不相容的判断。的确,只要一个人的行为被认为是对物理世界作出判断,它的正确性根据物理定律必须是可评估的。在这种意义上,物理定律为关于物理世界的思考行为提供了基本的(constitutive)规范。(MacFarlane,2002:367)

  就逻辑来说,它的法则关心的是一种特殊类型的、出现在所有知识领域中的后承(真、一致性),所以它的规范性力量包含了所有领域中的推导、断定和理论化行为。用弗雷格的话说:

  从[逻辑](11)的法则[一般]可以推出关于断定、思维、判断、推演的规定。(Frege,1918:1)

  弗雷格(和我们)对认知规范性的解释中,一个与众不同的方面是描述(thedeive)与规范(thepreive)之间的联系。麦克法兰对此也有清楚的解释:

  (11)弗雷格说的是“从真之法则”,但对他来讲,逻辑的法则都是真之法则。

  弗雷格......说,逻辑和伦理学一样可以称为“规范科学”(Frege,1979:128)。因为即使逻辑法则在其内容上都[是描述的而]不是规范的,它们却蕴涵着规范。??例如,[它们蕴涵]人们不应该同时相信一个命题及其否定。那么,逻辑法则具有两面性:它们在内容上都是描述的但又蕴涵着思想的规范。(MacFarlane,2002:36)

  现在,根据我们的解释和弗雷格的说明,虽然逻辑的规范性的来源与其他学科是一样的,但这并不意味着逻辑规范性在其他方面也与它们一样。我们已经注意到,逻辑的规范性比物理学的规范性涵盖着更广的范围。我们也已经看到,它的规范性建基在不同类型的真之中,这种真与物理学的真不同,是一种形式的真。最后,我们可以看到,逻辑的规范性在某种意义上比其他学科的规范性更为强大、更为深刻而且更为显明。逻辑规范性的这种显明性来自逻辑的主题:逻辑直接而非间接地通过断言、理论和推演的对象来处理它们,在这样做的时候,它就以明确、直接的方式显示了它的规范性。至于逻辑规范性的力量,则是长期以来就与逻辑相联系的特质之一,因此最好还是把这些特质放在一起来讨论。

  特质。逻辑在传统上被刻画成是形式的、高度普遍的、主题中立的、基础的、模态上强大的、高度规范的、先天的、高度确定的和分析的。作为一个基础整体主义者、一个相信既要把逻辑建基于心灵(或语言)之中也要把逻辑建基于实在之中的人,我拒绝把逻辑刻画为分析的。但是,除了这一点以及对它的先天性稍作修正之外,我们的解释肯定了逻辑所有的传统特质。

  按照我们的解释,形式性是逻辑的关键特质,它的所有其他传统特质都与此密切相关。塔尔斯基(Tarski,1986)指出了(我们意义上的)形式性和普遍性之间的联系。一个给定概念的不变性程度越高,它就越普遍;一个给定概念对其保持不变的那些转换组成的类越大,它的不变性程度就越高。从这些原理可以得出,由于逻辑概念的不变性程度比物理学概念、生物学概念、心理学概念以及其他许多概念都更高,因而它们更为普遍。(12)现在考虑主题中立性:逻辑的形式性,即它比其他学科具有更高的不变性程度这个事实,确保它抽象化了(不关心、不注意)它们与众不同的主题。所以,逻辑可以应用于其他学科而不管它们的“主题”:即逻辑是主题中立的。如果它在一门科学中起作用,那么它就在所有科学中起作用。逻辑的形式性即强不变性也意味着逻辑并不区分物理上(普通地)可能的和物理上不可能但形式上可能的对象和情境,物理学则相反。所以,与物理法则相比,逻辑法则在更广泛的可能空间中成立:逻辑法则在物理上不可能但形式上可能的事件状态中成立,而物理法则却不成立。这意味着逻辑具体特别强大的模态力量。

  此外,由于形式法则(并且因此逻辑法则)的范围真包含普通法则的范围,所以,自然科学和社会科学必须考虑到、而且确实遵从了逻辑法则,而不是反过来。在这种意义上,逻辑比这些学科更基础。现在,这种基础性反映在逻辑的强规范性力量之中。自然科学和社会科学服从逻辑的权威而不是相反,从这一事实可以得出,逻辑具有更强大的规范力量。考虑逻辑的可靠性之前,我们首先要注意的是,逻辑是在一种特定意义上高度可靠的。并不是人们在应用逻辑法则时不太可能出错,而是与其他法则相比,逻辑法则最不可能被科学发现所驳倒。这里并不是说,逻辑对发现完全免疫(想想罗素在弗雷格逻辑中对悖论的发现)、或者对其他学科(知识领域的相互关联性)的发现完全免疫;这里的意思是,逻辑比其他科学更不易受到新结果的冲击。原因依然与它的形式性或强不变性有关。形式算子、因此逻辑算子对实在的大多数方面都漠不关心;所以,涉及那些方面的研究相对不太可能产生新的形式结构理论来破坏我们当前的逻辑。

  传统上,逻辑都被刻画成先天的,这一点常常由逻辑的强大模态力量和/或其分析性来解释。我认同的是逻辑具有强大的模态力量这个观点,但并不认为这需要绝对的先天性。绝对先天I生范畴在基础主义框架中有意义,但在整体主义框架中却没有。传统的先天论要求对经验的绝对独立性,但是基础整体主义只容许相对独立性(尽管它确实容许相当大的独立性)。根据本文建立的基础整体主义,逻辑对经验内容在很大程度是免疫的,但并不是完全免疫的。这也与其形式性有关,在方式上则与(前面所说的)相当大的可靠性大致相同。逻辑所考虑的对象的特征由于太抽象而不能直接用经验方法进行研究;所以,在获取逻辑知识(形式知识)的时候,关于感性知觉的理性是优先考虑的事情。但是,很大程度上以理性为基础并不意味着唯一地以理性为基础。所以,逻辑是准先天的而非绝对先天的。

  逻辑中的错误和修正。我们已经讨论了逻辑的传统特质并解释了它的强规范性。但是,我们认为逻辑是准先天的,并且没有达到绝对地可靠,这个观点需要我们处理另外一个问题:逻辑中的错误和修正。首先我要提起注意的是,认为逻辑是一门正确性学科和认为逻辑对错误免疫,这二者不是同一个事情。像其他任何理论一样,逻辑理论可以是错误的(包含错误),但这不能取消它们作为正确性理论的资格。一个理论是正确性的,仅当它(i)以真为目标(其中真需要与实在有一个系统的联系),(ii)使用真作为其作出判断的核心标准,(iii)为验证其作出的判断的真提供实质性工具。根据我们的说明,逻辑满足所有这些要求。有人可能认为,作为其强大模态力量的结果,逻辑对错误是免疫的。他们可能这样推理,由于逻辑真理都是必然的——即必然地为真——它们不能为假。但是,其断言具有强大模态力量的理论都是绝无错误的这个观点完全错了。逻辑法则的形式必然性并不蕴涵逻辑是绝无错误的,正如物理法则的普通必然性并不蕴涵物理法则是绝无错误的。牛顿定律和爱因斯坦定律在模态地位上并没有不同,但是(根据现代物理学)它们的真理性是不同的。我们在对于自然法则的模态地位不会出错的情况下,对于它们究竟是什么却可能会出错。这对逻辑同样成立。

  逻辑中的错误有哪些可能的来源?一个潜在的来源是其形式结构的背景理论。如果支配性质和情境的形式布局的法则不同于我们当前作为背景的形式理论所说的,那么在我们的逻辑中就可能有错误。这样一些错误可以证明修正的正当性。另外一个潜在的错误来源是逻辑常项的选择。如果我们选择“高于”或“是人的一个属性”作为逻辑常项,我们就会把实质后承错认成逻辑后承,如果我们取消选择存在量词和全称量词作为逻辑常项,我们就会把逻辑后承错认成实质后承。错误的第三个来源在于我们系统的构造之中。如果我们把模型构造成物理上可能的对象结构(而不是形式上可能的对象结构),我们就会把物理法则错认成逻辑法则。所有这些种类的错误都为逻辑的修正提供了可靠的理由。

  逻辑中的另外一个修正可能是实用方面的:假设没有正确性考虑因素会偏爱一个逻辑理论而不是另外一个,但实用或方法论考虑因素却有偏爱;由此,作为整体主义者,我们可以审慎地使用这些考虑因素来推动修正。现在来看经验。如果起作用的话,经验可以对发现逻辑中的错误和推动逻辑的修正起什么作用?虽然抽象的理论考虑因素比经验的考虑因素在逻辑的修正中起着更大的作用,我们还是无法排除经验上对“一个非常基本的性质”的发现可能对逻辑产生重大影响。沿着那样一些思路,塔尔斯基在给莫顿怀特的一封信中提出过一些东西:

  逻辑公理都具有如此普遍的性质以至于它们很少被??特殊领域中的经验所影响。但是,??我可以设想,一个非常基本的性质的某些新经验可能使我们倾向于改变某些逻辑公理。量子力学中的一些新发展似乎明显地指出了这种可能性。(Tarski,1987:31—_321

  把私人信件中非正式地表述的观点归于一个作者需要非常小心;所以我只谈我自己的想法。由于形式的强不变性,形式法则不是经验方法直接可发现的。但是,经验考虑因素和理论考虑因素的某些组合可能会显示,有的形式结构理论优于另外一个,从而通过这一点显示一个逻辑优于另外一个逻辑,这种可能性不能排除。由于逻辑的特殊本质,理论考虑因素总是比经验考虑因素更有分量,但是我们也允许这样一种可能性,即物理学中的问发现可能会超出它们本身而指向更为抽象的东西。尤其是,我们允许一个物理学中的问题指向物理学某个背景理论(包括它的形式背景理论和逻辑背景理论)中的问题这样一种可能性。最后,我们不要忘记,不成功的实例、包括不成功的经验实例,可以为抽象的法则造成挑战(即使是一个可废止的挑战)。

  但是,允许经验在逻辑的修正中起着有限的作用并不能(像自然科学、社会科学中那样)单独地致使逻辑成为偶然的,强调这一点很重要。它也不会妨碍到它的强不变性。无论是出于纯理论考虑因素还是部分地出于经验的考虑因素,我们都可以把我们的逻辑理论替换为另外一个具有同样强大的模态力量和同样地不变的概念的逻辑理论。

  逻辑的可修正性可以延伸到逻辑哲学,包括我们自己的基础性解释,这一点无须再说。已经接受修正方案的一个具体特征是我们关于逻辑性的不变性标准。例如,费弗曼(Feferman,1999)提出把同构不变性替换成同态不变性;博奈(Bonnay,2008)和其他人则提出了其他的备选者。⑩当然,这些提议需要进行严肃的讨论,但是,我们的研究对这样的修正所设置的哲学标杆具有相当的高度。特别是,并不是每一个逻辑性标准都有助于一个统一的、实质性的、理论的逻辑基础。

  至此结束了我们关于逻辑基础的一个大纲。我希望,本文为设计出一个基础方法论并用它为逻辑建立一个(即使还不完整的)实质性基础所做的努力,将会鼓励大家加人到这一研究当中来并把它拓展到数理逻辑之外。

  ⑩ 我也许应该说明的是,在最近关于逻辑常项的研讨会(ESSLLI 2011)上,费弗曼说他不再希望对其备

  选的提议进行辩护,尽管他仍然坚守他对同构的异议。(费弗曼教授已于2016年7月26日去世。——译者)

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